UNIFESP 2005 - Questões

Os candidatos que prestaram o ENEM podem utilizar a nota obtida na parte objetiva desse exame como parte da nota da prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP. A fórmula que regula esta possibilidade é dada por

$$NF=\begin{cases} 95\%\ \text{CG}+5\%\ \text{ENEM}, & \text{se}\ \text{ENEM}>\text{CG}\\ \text{CG},& \text{se}\ \text{ENEM}\le\text{CG} \end{cases}$$

onde $NF$ representa a nota final do candidato, $\text{ENEM}$ a nota obtida na parte objetiva do ENEM e $\text{CG}$ a nota obtida na prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP.

1. a) Qual será a nota final, $NF$, de um candidato que optar pela utilização da nota no $\text{ENEM}$ e obtiver as notas $\text{CG}= 2,0$ e $\text{ENEM}= 8,0$?
   

2. b) Mostre que qualquer que seja a nota obtida no $\text{ENEM}$, se $\text{ENEM}>\text{CG}$ então $NF>\text{CG}$.
   

Um recipiente contém um litro de uma mistura de diesel e álcool, na proporção de 40% de diesel e 60% de álcool. Deseja-se modificar esta proporção para 30% de diesel e 70% de álcool, sem retirar diesel. A quantidade mínima de álcool, em mililitros, que se deve adicionar à mistura original, considerando que as proporções mencionadas são sempre em volume, é de:

A sequência de números naturais $(a_1,\ 4,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ 3,\ a_7,\ a_8,\dots )$, onde $a_2=4$ e $a_6=3$, tem a propriedade de que a soma de três termos consecutivos quaisquer é sempre igual a 13. O $\text{MMC}\left(a_{102},\ a_{214}\right)$ é:

Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades $x$, $y$, $z$, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40. De pronto, os alunos protestaram: a informação "$x\cdot \ y\ \cdot \ z\ =\ 40$" era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número 40 cujo produto é 40. O professor concordou e disse, apontando para um dos alunos, que a soma $x\ +\ y\ +\ z$ das idades (em anos) era igual ao número que se podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível responder com segurança, mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas). Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a resposta correta é:

Dada a matriz, $3\times 3$, $A\ =\ \left(\begin{array}{ccc} {x} & {y} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \\ {-1} & {-1} & {1} \end{array}\right)$ , a distância entre as retas $r$ e $s$ de equações, respectivamente, ${det \left(A\right)\ }=0$ e ${det \left(A\right)\ }=1$ vale: