UNICAMP 2021 Matemática - Questões

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Considere um número real $t \in [0,2\pi)$ e defina a matriz

$$H = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) - 2 \left(\begin{array}{cc} \cos^2\ (t) & \cos\ (t) \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ (t)\\ \cos\ (t) \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ (t) & \hspace{2pt}\mathrm{sen}^2\ (t) \end{array}\right).$$

  1. a) Mostre que a matriz $H$ é invertível.

  2. b) Determine valores de $t$ tais que $H \cdot \left(\ ^3_2\ \right) = \left(\ ^2_3\ \right)$.

Seja $f(x) = x^3-2x+1$ uma função polinomial real. A reta tangente ao gráfico de $y=f(x)$ no ponto $(a,f(a))$ é definida pela equação $y=mx+f(a)-ma$, onde $m=3a^2-2$.

  1. a) Encontre os pontos do gráfico de $y=f(x)$ cuja reta tangente é paralela à reta definida por $x-y=0$.

  2. b) Sabendo que $a>0$ e que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $y = f(x)$ no ponto $(a,f(a))$ é $10$, determine os pontos de intersecção da reta tangente com o gráfico de $y = f(x)$.

O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência FLORES é


A soma dos valores de $x$ que resolvem a equação

$$\dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}{\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{2}$$

é igual a


O projeto PRODES – Monitoramento do desmatamento das formações florestais na Amazônia Legal -, do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais), monitora as áreas desmatadas da Amazônia legal e mantém um registro da área desmatada por ano. Um levantamento sobre esses dados a partir de $2016$ mostrou que em $2019$ houve um acréscimo de $35\%$ da área desmatada em relação a $2018$, de $45\%$ em relação a $2017$ e de $28\%$ em relação a $2016$.

(Fonte: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br. Acessado em 12/12/2020.)

Sabendo que a soma das áreas desmatadas nos anos de $2017$, $2018$ e $2019$ foi de $24.600\ \text{km}^2$, a área desmatada no ano de $2019$ está entre


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