UNICAMP 2020 Matemática - Questões

Seja a matriz de ordem $2 \times 3$, dada por:

$$A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$

1. a) Seja $C$ a matriz de ordem $3 \times 2$, cujos elementos são dados por $c_{ij}=(-1)^{i+j}$, para $i=1,2,3$ e $j=1,2$. Determine o produto $AC$.
   

2. b) Determine a solução do sistema linear $A\cdot \left[\begin{array}{ccc} x\\ y\\ z \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} \\ 6\\ 6 \\ \end{array}\right]$, nas variáveis reais $x$, $y$ e $z$, em que ($x$, $y$, $z$) é uma progressão aritmética.
   

Seja a função $f(x)=\dfrac{2+\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x}{2+\cos\ x}$, definida para todo número real $x$.

1. a) Mostre que $f(\pi/2)+f(-\pi/2)=f(\pi)f(\pi/4)$
   

2. b) Seja $\theta$ um número real tal que $f(\theta)=2$. Determine os possíveis valores para $\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta$.
   

Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total de filhos e filhas dessa família é igual a

Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. O número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é igual a

Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de $\dfrac{2}{3}$, independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a