UNICAMP 2017 Matemática - Questões

Sabe-se que, em um grupo de $10$ pessoas, o livro$A$ foi lido por $5$ pessoas e o livro $B$ foi lido por $4$ pessoas. Podemos afirma corretamente que, nesse grupo,

Sejam $c$ um número real e $f\left(x\right)=x^2-4x+c$ uma função quadrática definida para todo número real $x$. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de $y=f(x)$.

1. a) Determine $c$ no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para $0\le \ x\le 4$.
   

2. b) Considere os pontos de coordenadas $A\ =\ (a,f(a))$ e $B\ =\ (b,f(b))$, onde a e b são números reais com a $<$ b. Sabendo que o ponto médio do segmento $\overline{AB}$ é $M\ =\ (1,c)$, determine $a$ e $b$.
   

Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do que $3$ é igual a

Seja $f(x)$ uma função tal que para todo número real $x$ temos que $xf(x-1)=(x-3)f(x)+3$. Então, $f(1)$ é igual a

Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico $p\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+1$.

1. A) Mostre que, se r é uma raiz de $p(x)$, então $1/r$ é uma raiz do polinômio $q\left(x\right)=x^3+bx^2+ax\ +\ 1$.

2. B) Determine os valores de $a$ e $b$ para os quais a sequência $(p(-1),p(0),p(1))$ é uma progressão aritmética $(PA)$, cuja razão é igual a $p(\ 2)$.