UNICAMP 2010 Matemática - Questões

Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 $kg$ de açúcar e 0,2 $kg$ de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 $kg$ de açúcar e 0,3 $kg$ de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 $kg$ de açúcar e 6 $kg$ de farinha, responda às questões abaixo.

1. a) Será que é possível produzir 7 $kg$ de bolo do tipo A e 18 $kg$ de bolo do tipo B? Justifique sua resposta.

2. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda farinha e todo o açúcar de que dispõe?

O valor presente, $V_p$, de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a $\mathbf{n}$ meses, é dado pela fórmula abaixo, em que $\mathbf{r}$ é o percentual mensal de juros $(0\le r\le 100)$ e $\mathbf{p}$ é o valor da parcela. $$V_p=\frac{p}{{\left[1+\frac{r}{100}\right]}^n}$$

1. a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, $V_p$, supondo uma taxa de juros de 1

2. b) Imagine que outra mercadoria, de preço $2p$, seja vendida em duas parcelas iguais a $p$, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, $V_p$, e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista
   

Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right]$, cujos coeficientes são números reais.

1. a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.

2. b) Suponha, agora, que ${\mathrm{a}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{=0}$ para todo elemento em que $\mathrm{j>i,\ \ \ e\ que\ \ }{\mathrm{a}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{=i-j+1}$ para os elementos em que $\mathrm{j}\mathrm{\le }\mathrm{i}$. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A$\ ^{-1}$.

Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda.

O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.

Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.

1. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?

2. b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10.000 membros?