UFPR 2014 Matemática - Questões

Para calcular a nota final de seus alunos, um professor de Matemática utiliza a média aritmética das notas obtidas em seis provas. Suponha que a média das notas de um estudante, nas quatro primeiras provas desse professor, foi 8,7.

1. a) Se esse estudante obtiver as notas 8,0 e 8,2 nas duas próximas provas, qual será sua média nas seis provas?
   

2. b) Qual deverá ser a média nas duas provas seguintes, para que esse estudante obtenha média final 9,0 nas seis provas?
   

Uma reta passando pelo ponto $P(16,\ -3)$ é tangente ao círculo $x^2+y^2=r^2$ em um ponto $Q$. Sabendo que a medida do segmento $\overline{PQ}$ é de $12$ unidades calcule:

1. a) A distância do ponto $P$ à origem do sistema cartesiano;
   

2. b) A medida do raio $r$ da circunferência.
   

No processo de preparação de uma mistura, foi necessário estudar o sistema linear:

$$\begin{cases} p+2q+r=3 \\ 2p+3r=8 \\ p+6q= \end{cases}$$

Nesse sistema, $p$, $q$ e $r$ representam as quantidades dos três elementos envolvidos na mistura.

1. a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema.
   

2. b) Resolva o sistema.
   

Um programa de computador usa as vogais do alfabeto para gerar aleatoriamente senhas de 5 letras. Por exemplo:

EEIOA e AEIOU

são duas senhas possíveis.

1. a) Calcule a quantidade total de senhas que podem ser geradas pelo programa.
   

2. b) Uma senha é dita insegura se possuir a mesma vogal em posições consecutivas. Por exemplo: AAEIO, EIIIO, UOUUO são senhas inseguras. Qual a probabilidade de o programa gerar aleatoriamente uma senha insegura?
   

Considere o número complexo

$$z_{0} =4i+\dfrac{13}{2+3i}$$

1. a) Determine a parte real e a parte imaginária de $z_0$.
   

2. b) Determine $a$ e $b$, de modo que $z=1-i$ seja solução da equação $z^2+az+b=0$.