UFPR 2010 Matemática - Questões

Sabe-se que a velocidade do som no ar depende da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade $v$ (em metros por segundo) com a temperatura $t$ (em graus Celsius) de maneira aproximada é $v=20\sqrt{t+273}$. Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas:

1. a) Qual é a velocidade do som à temperatura de $27\ ^\circ\text{C}$? (Sugestão: use $\sqrt{3}=1,73$)
   

2. b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de $340\ \text{m/s}$ (metros por segundo). Isso ocorre a que temperatura?
   

Considere a função $f$ definida pela expressão $$f\left(x\right)=\det \left[\begin{array}{ccc} {\cos\ \left(2x\right)} & {\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x} & {0} \\ {\cos\ x} & {1/2} & {0} \\ {1} & {0} & {2} \end{array}\right]$$

1. a) Calcule $f\left(0\right)$ e $f\left(\dfrac{\pi }{4} \right)$.
   

2. b) Para quais valores de $x$ se tem $f\left(x\right)=0$?
   

Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: 237, 366, 593...)

1. a) Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo sabendo que o dígito 3 deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez?
   

2. b) Qual é a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito 3 aparece obrigatoriamente?
   

Uma parábola é o gráfico de uma função da forma $y=ax^2+bx+c$, com $a\ne 0$.

1. a) Encontre a função cujo gráfico é a parábola que contém os pontos $P=\left(-1,\ 2\right)$, $Q=\left(1,\ 2\right)$ e $R=\left(2,\ 5\right)$. Sugestão: utilize os pontos dados para construir um sistema linear.
   

2. b) Existe uma parábola que contém os pontos $P=\left(-1,\ -1\right)$, $Q=\left(1,\ 3\right)$ e $R=\left(2,\ 5\right)$? Justifique.