UFF 2009 Matemática - Questões

Os números $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ listados abaixo, são racionais. Escreva-os na forma de fração irredutível $\dfrac{p}{q}$ com $p$ e $q$ números inteiros, sendo $q \neq 0$.

$$n_1 = \dfrac{2 - \frac{3}{4}}{2 - \frac{1}{3}},\ n_2 = \displaystyle\sum\limits_{j=0}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^j = 1 + \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \cdots + \left(\dfrac{1}{3}\right)^j + \cdots,\ n_3 = \left(\begin{array}{c} 100 \\ 98 \end{array}\right)$$

$$n_4 = -\log_{10}\left(\dfrac{1}{100}\right),\ n_5 = e^{\ln\ (2,95)}$$

Uma herança de R$ $360.000,00$ deverá ser dividida em duas partes, $x$ e $y$, de tal modo que $\dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{4}$. Determine os valores de $x$ e $y$

Um $\textit{rally}$ é realizado em um circuito que passa por diferentes paisagens nordestinas: $\dfrac{2}{5}$ na zona da mata, $\dfrac{3}{7}$ em terras do sertão nordestino e os $108 \text{km}$ restantes na mata dos cocais.

1. a) Determine o comprimento do circuito completo.
   

2. b) Sabendo que $25\%$ do percurso que se encontra na zona da mata está asfaltado, $10\%$ do percurso que se encontra no sertão está asfaltado e que apenas $36 \text{km}$ do percurso que se encontra na mata dos cocais está asfaltado, determine o percentual, em relação á medida do circuito completo, da parte asfaltada do percurso.
   

O decaimento de isótopos radioativos pode ser usado para medir a idade de fósseis. A equação que rege o processo é a seguinte:

$$N = N_0e^{-\lambda t},$$

sendo $N_0 > 0$ o número inicial de núcleos radioativos, $N$ o número de núcleos radioativos no tempo $t$ e $\lambda > 0$ a taxa de decaimento.

O intervalo de tempo necessário para que o número de núcleos radioativos seja reduzido à metade é denominado tempo de meia-vida. Pode-se afirmar que o tempo de meia-vida:

Considere a função $h(x) = a(x - b)^2$. Sabe-se que o gráfico de $h$ contém os pontos $(1,0)$ e $(0,2)$.

1. a) Determine os valores das constantes $a$ e $b$. Justifique sua resposta.
   

2. b) Sabendo-se que $h(x) = (f \circ g) (x)$, onde $f(x) = 2x^2$ e $g(x)$ é uma função afim decrescente, determine $g(3)$. Justifique sua resposta.
   

3. c) Resolva a equação $f(x) - h(x) = |x|$.