UFF 2009 - Questões

No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli $(1526 – 1572)$, matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos.

Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta.

O decaimento de isótopos radioativos pode ser usado para medir a idade de fósseis. A equação que rege o processo é a seguinte:

$$N = N_0e^{-\lambda t},$$

sendo $N_0 > 0$ o número inicial de núcleos radioativos, $N$ o número de núcleos radioativos no tempo $t$ e $\lambda > 0$ a taxa de decaimento.

O intervalo de tempo necessário para que o número de núcleos radioativos seja reduzido à metade é denominado tempo de meia-vida. Pode-se afirmar que o tempo de meia-vida:

Em ciências atuariais, uma tábua da vida é uma tabela, construída a partir de censos populacionais, que mostra a probabilidade de morte de um indivíduo em uma certa faixa etária. Tábuas da vida são usadas em planos de previdência e seguros de vida.

A tábua da vida abaixo indica, por exemplo, que um indivíduo entre $1$ ano (inclusive) e $2$ anos (exclusive) tem $0,05$% de chance de morrer.

$$\begin{array}{ccccccccccc} \text{Faixa etária}\ [x,x+1) & [0,1) & [1,2) & [2,3) & [3,4) & [4,5) & [5,6) & [6,7) & [7,8) & [8,9) & [9,10) \\ \text{Probabilidade de morrer em %} & 0,69 & 0,05 & 0,03 & 0,03 & 0,02 & 0,02 & 0,02 & 0,01 & 0,01 & 0,01 \end{array}$$

Supondo-se que existe um grupo de $1\ 000\ 000$ pessoas que acabaram de completar $2$ anos, segundo esta tabela, o número de pessoas deste grupo que farão aniversário de $3$ anos é igual a:

The Internet Archive (http://www.archive.org/) é uma organização sem fins lucrativos com o objetivo de catalogar e armazenar todas as páginas WEB da Internet, desde $1996$. Atualmente, o sistema é gerenciado por cerca de $800$ computadores pessoais e ele dispõe de aproximadamente $3$ petabytes de memória para armazenamento. Cada petabyte equivale a $220$ gigabytes.

Admitindo-se que um DVD comum é capaz de armazenar $4$ gigabytes (na verdade, ele armazena um pouco mais), então o número de DVDs necessários para se armazenar $3$ petabytes é:

Na década de $1940$, o estatístico P. H. Leslie propôs um modelo usando matrizes para o estudo da evolução de uma população ao longo do tempo. Se, por exemplo, $x(t)$ e $y(t)$ representam a distribuição de indivíduos no ano t em duas faixas etárias, no modelo de Leslie, a distribuição de indivíduos $x(t + 1)$ e $y(t + 1)$ no ano $t + 1$, nessas mesmas duas faixas etárias, é dada por

$$\left[\begin{array}{c} x(t + 1) \\ y(t + 1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ p & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array}\right]$$

As constantes $a$ e $b$ representam as fertilidades em cada faixa etária e a constante p representa a taxa de sobrevivência da primeira faixa etária.

Se $a = 0$; $b = 10$; $p = 0,1$; e sabendo que $x(0) = 2.000$ e $y(0) = 200$; então, a distribuição de indivíduos no ano $t = 10$ é dada por: