UERJ 2011 Matemática - Questões

Um supermercado realiza uma promoção com o objetivo de diminuir o consumo de sacolas plásticas: o cliente que não utilizar as sacolas disponíveis no mercado terá um desconto de R$0,03 a cada cinco itens registrados no caixa.

Um participante dessa promoção comprou 215 itens e pagou R$ 155,00.

Determine o valor, em reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras e não participasse da promoção.

Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial $n$ de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120.

Determine o valor de $n$.

Considere a equação: $$\left(\log _{2}\ x\right)^{2} -\log _{\sqrt[{3}]{2}\ } x=0\ \text{com }x>0$$ Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação: $$\left(\log _{2}\ x\right)^{2} =\log _{\sqrt[{3}]{2} }\ x$$ $$\left(\log _{2}\ x\right)^{2} =3\left(\log _{2}\ x\right)$$ $$\left(\log _{2}\ x\right)=3$$ $$x=2^{3}$$ $$x=8$$ $$S=\left\{8\right\}$$ O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto.

Resolva a equação e determine corretamente o seu conjunto-solução.

Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo $X$ um deles. Após essa escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal.

Calcule a probabilidade de $X$ ser o juiz principal.

Considere a matriz $A_{3\times 3}$ abaixo: $$A=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{2} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {1} & {1} \\ {a_{31} } & {1} & {1} \end{array}\right)$$

Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação: $$a_{ij} =2\times \left(\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \theta _{i} \right)\times \left(\cos\ \theta _{j} \right)\ \forall i,\ j\ \in\ \left\{1,\ 2,\ 3\right\}$$

Nessa relação, os arcos $\theta _{1}$, $\theta _{2}$ e $\theta _{3}$ são positivos e menores que $\dfrac{\pi }{3}$ radianos.

Calcule o valor numérico do determinante da matriz $A$.