UERJ 2009 Matemática - Questões

Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8 são, respectivamente, 7 e 5.

Determine o resto da divisão do produto $a\cdot b$ por 8.

Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto em distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho:

• Todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par inválidos;

• O primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 7,07 m, e assim sucessivamente cada salto válido aumentou sua medida em 3 cm;

• O último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22 m.

Calcule o valor de n.

Considere a situação abaixo:

Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem dançar. Calcule o número total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar.

Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo:

A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. Há, portanto, $12\times 6=72$ modos de formar um casal.

Essa solução está errada. Apresente a solução correta.

Uma sequência de três números não nulos $\left(a, \ b, \ c\right)$ está em progressão harmônica se seus inversos $\left(\dfrac{1}{a} , \ \dfrac{1}{b} , \ \dfrac{1}{c} \right)$, nesta ordem, formam uma progressão aritmética.

As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica. $$x^{3} +mx^{2} +15x-25=0$$

Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação.

Considere o teorema e os dados a seguir para a solução desta questão.

Se $\alpha$, $\beta$ e $\alpha +\beta$ são três ângulos diferentes de $\dfrac{\pi }{2} +k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, então $$\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \left(\alpha +\beta \right)=\dfrac{\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \alpha +\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \beta }{1-\left(\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \alpha \right)\left(\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \beta \right)}$$ a, b e c são três ângulos agudos, sendo $\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ b=2$ e $\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{5}$.

Calcule $\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \left(a-b+c\right)$.