UERJ 2007 Matemática - Questões

Observe a equação química que representa a fermentação do açúcar:

$$x\ C_{6} H_{12} O_{6} \longrightarrow y\ CO_{2} +z\ C_{2} H_{5} OH$$

Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, as quantidades de átomos de cada elemento químico. Esse processo dá origem ao seguinte sistema linear:

$$\left\{\begin{array}{l} {6x=y+2z} \\ {12x=6z} \\ {6x=2y+z} \end{array}\right.$$

Determine o conjunto-solução do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de $x,y,\ e\ z$ que formam uma das soluções desse sistema.

Um sistema de numeração de base b, sendo $b\ge 2$, utiliza b algarismos: $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ ..., \ b-1.$

O sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por exemplo, o número $3548$ corresponde a $3\times 10^{3} +5\times 10^{2} +4\times 10^{1} +8\times 10^{0}$.

Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por exemplo, o número $\left(2043\right)_{5}$ está escrito na base $b=5$ e corresponde a $2\times 5^{3} +0\times 5^{2} +4\times 5^{1} +3\times 5^{0}$, ou seja, $273$ no sistema decimal.

Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à esquerda da representação de um número não altera seu valor. Os números $\left(301\right)_{7}$ e $\left(0301\right)_{7}$ são, portanto, iguais e formados por três algarismos.

Calcule, no sistema de numeração de base 7, a quantidade total de números que possuem somente quatro algarismos distintos.

Um sistema de numeração de base b, sendo $b\ge 2$, utiliza b algarismos: $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ ..., \ b-1.$

O sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por exemplo, o número $3548$ corresponde a $3\times 10^{3} +5\times 10^{2} +4\times 10^{1} +8\times 10^{0}$.

Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por exemplo, o número $\left(2043\right)_{5}$ está escrito na base $b=5$ e corresponde a $2\times 5^{3} +0\times 5^{2} +4\times 5^{1} +3\times 5^{0}$, ou seja, $273$ no sistema decimal.

Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base $\left(x+3\right).$

Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos, obtemos $\left(2343\right)_{x} =\left(534\right)_{x+3}$

Calcule o valor da base x e as outras duas raízes da equação resultante.