PUC-SP 2018 Matemática - Questões

O matemático Al-Karkhî escreveu um trabalho sobre álgebra, no qual descreve uma técnica de encontrar números racionais $x,y,z$, não nulos, tais que $x^3+y^3=z^2$. Nesse trabalho ele utiliza $x= \dfrac{n^2}{1+m^3}, y=mx$ e $z=nx$, com $m$ e $n$ números racionais quaisquer, não nulos.

(Fonte: Introdução à História da Matemática. Howard Eves. Ed. UNICAMP. Adaptado.)

Adotando $m=2$ e sabendo que $x+y=z$, o valor de $(x+y)^z$ é um número

As coordenadas do vértice $(V)$ da parábola descrita pela função $f(x)=x^2-4x+3$ também pertencem à reta $r$, que é perpendicular à reta $s$, conforme mostra a figura.

Sabendo que o ponto $A$ pertence à intersecção da reta $s$ com o eixo das ordenadas, então, a soma das coordenadas do ponto $B$, que pertence à intersecção da reta $s$ com o eixo das abscissas, é

Uma pessoa coloca, em seu celular, uma senha de 4 dígitos, todos diferentes de zero, de modo que o primeiro e o quarto dígitos sejam iguais, e o segundo dígito seja o dobro do terceiro. Sabendo que o segundo e o terceiro dígitos são sempre diferentes do primeiro, então o número de possibilidades que essa pessoa tem de montar essa senha é

Considere as funções $f(x)-2^{x+k}$ e $g(x)=x^2+m$, com $k$ e $m$ números inteiros.

Se $f(1)=-2+g(2)$ e $f(0)=g(0)$, o valor de $f(g(f(-1)))$ é

Considere o retângulo $ABCD$, com $AB=a$ e o triângulo $EFG$, com $EG+ \dfrac{a}{2}, FC= \dfrac{a}{6}, FG=2 \sqrt{17}$ e $DG= \dfrac{a}{3}$ conforme mostra a figura.

Sabendo que os pontos $A,E,F$ estão alinhados e que os pontos $F$ e $G$ pertencem, respectivamente, aos lados $\overline{BC}$ e $\overline{CD}$, a área do triângulo $EFG$, em unidades de área, é