OBMEP 2017 - Questões

Mônica e seu namorado foram assistir a uma peça de teatro. O auditório era organizado em fileiras paralelas ao palco, todas com o mesmo número de cadeiras dispostas lado a lado. Eles se sentaram um ao lado do outro nos dois últimos lugares vagos. Mônica percebeu que havia, no total, 14 pessoas nas fileiras à sua frente e 21 pessoas nas fileiras atrás da sua. Quantas cadeiras havia no auditório?

Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

Na sequência $1$, $5$, $4$, $-1$, $-5$, ... cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seus dois vizinhos; por exemplo: $5=1+4$, $4=5+\left(-1\right)$ e $-1=4+\left(-5\right)$. Qual é a soma dos 1000 primeiros termos dessa sequência?

José gosta de inventar operações matemáticas entre dois números naturais. Ele inventou uma operação $\square$ em que o resultado é a soma dos números seguida de tantos zeros quanto for o resultado dessa soma. Por exemplo,

$$2 \square 3=5\underbrace{00000}_{5\ zeros} \ \ \text{ e } \ \ 7 \square 0=7\underbrace{0000000}_{7\ zeros}.$$

Quantos zeros há no resultado da multiplicação abaixo? $$\left(1 \square 0\right) \times (1 \square 1) \times (1 \square 2) \times (1 \square 3) \times (1 \square 4)$$

Em uma festa havia somente 3 mulheres, e 99% dos convidados eram homens. Quantos homens devem deixar a festa para que a porcentagem de homens passe a ser igual a 98% do total de participantes?