ITA 2023 Matemática - Questões

Considere $A \in M_3(\mathbb {R})$ tal que existe um único número real $x$ que satisfaz a equação $det(\sqrt[3]{2} x^2A)+det(xA^3)=det A^2$. Então, $x + det A$ é

Sejam $a$ e $b$ números reais positivos. Considere o sistema linear nas incógnitas $x,y$ e $z$: $$\begin{cases} -ax + by + az = 0 \\ b^2 x + a^3 y + 4a^2 z = 0 \\ 4a^2x + a^3y + b^2z = 0 \end{cases}$$ Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine $b$ em função de $a$. Determine o conjunto solução do sistema para $a = \dfrac{1}{2}$

Sejam $z \in \mathbb{C}$ e $f(z)=z^2+i$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, definimos $f^{(1)}(z) = f(z) $ e $f^{(n)}(z)=f(f^{(n-1)}(z))$. Então $f^{(2023)}(0)$ é

Considere as seguintes matrizes:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \ e \ \ C = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$

Determine os números $\alpha \in \mathbb{R}$ tais que a matriz $M = \alpha^2 A + \alpha B + C$ é invertível.

Considere as afirmações:

I. Se $P$ é um polígono convexo de $n$ lados iguais, então $P$ é um polígono regular.

II. Seja $P$ um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de $P$ é $240º$.

III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de razão $r = 1º$.

É (são) sempre verdadeira(s):