ITA 2021 Matemática - Questões

Sejam $A$ e $B$ matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que $A$ é simétrica e que $B$ é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações:

$I$. $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

$II$. $A$ comuta com qualquer matriz simétrica

$III$. $B$ comuta com qualquer matriz antissimétrica

$IV$. $\det(AB) = 0$

É(são) VERDADEIRA(S):

Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isósceles cujas bases e altura têm comprimentos $4$, $2$ e $3$, respectivamente.

Seja $S \in \mathbb{R}$ o conjunto solução da inequação $(x^2 + x + 1)^{2x^2-x-1} \le 1$. Podemos afirmar que:

Determine todos os valores do número real $a$ para os quais a matriz

$ \begin{vmatrix} 1 & a^3 & -a & 3 & 2 \\ 2 & a^2 & 1 & a^3 & a \\ 0 & 0 & 0 & a & -a^2 \\ -a & 0 & 0 & 0 & 3 \\ a^2 & 0 & 0 & -3 & 0 \end{vmatrix}$

é não singular.

Os vértices da base de um triângulo isósceles $PQR$; inscrito numa circunferência de centro $O = (5; 0)$, são $P = (4, 2\sqrt{2})$ e $Q = (8, 0)$. Se o vértice $R$ pertence ao primeiro quadrante, então a área do triângulo $PQR$ é igual a: