ITA 2016 Matemática - Questões

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01 ITA 2016 - Matemática

Considere as seguintes afirmações.

I. A função $f(x)=\log_{10} \left(\frac{x-1}{x}\right)$ é estritamente crescente no intervalo $]1,+\infty[$.

II. A equação $2^{x+2} = 3^{x-1}$ possui uma única solução real.

III. A equação $(x+1)^x = x$ admite pelo menos uma solução real positiva.

É (são) verdadeira(s)

apenas I.

I, II e III.

apenas I e II.

apenas III.

apenas II e III.

02 ITA 2016 - Matemática

Se $x$ é um número natural com $2015$ dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de $\sqrt[7]x$ é igual a

$285$

$286$

$287$

$288$

$289$

03 ITA 2016 - Matemática

Escolhendo-se, aleatoriamente, três números inteiros distintos no intervalo $[1, 20]$, a probabilidade de que eles estejam, em alguma ordem, em progressão geométrica é igual a

$\frac{2}{285}$

$\frac{2}{217}$

$\frac{1}{190}$

$\frac{4}{225}$

$\frac{1}{380}$

04 ITA 2016 - Matemática

Se $\tan x=\sqrt7$ e $x\in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$, então $\sin 3x$ é igual a

$-\frac{\sqrt{14}}{8}$

$\frac{\sqrt{14}}{8}$

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

$-\frac{\sqrt{14}}{4}$

$\frac{\sqrt{14}}{6}$

05 ITA 2016 - Matemática

Seja $(a_1, a_2, a_3,\dots )$ a sequência definida da seguinte forma: $a_1 = 1000$ e $a_n = \log_{10} (1 + a_{n-1})$ para $n\ge 2$. Considere as afirmações a seguir:

I. A sequência ($a_n$) é decrescente.

II. $a_n > 0$ para todo $n\ge 1$.

III. $a_n < 1$ para todo $n\ge 3$.