ITA 2016 - Questões

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Se a reta de equação $x=a$ divide o quadrilátero cujos vértices são $(0,1)$, $(2,0)$, $(4,0)$ e $(6,4)$ em duas regiões de mesma área, então o valor de $a$ é igual a


Seja $ABC$ um triângulo equilátero e suponha que $M$ e $N$ são pontos pertencentes ao lado $\overline{BC}$ tais que $BM=MN=NC$. Sendo
 a medida, em radianos, do ângulo $M\hat{A}N$, então o valor de $\cos\alpha$ é


Escolhendo-se, aleatoriamente, três números inteiros distintos no intervalo $[1, 20]$, a probabilidade de que eles estejam, em alguma ordem, em progressão geométrica é igual a


Considere o polinômio $p$ com coeficientes complexos definido por $$p(z)=z^4+(2+i)z^3+(2+i)z^2+(2+i)z+(1+i)$$ Podemos afirmar que


Em um triângulo equilátero $ABC$ de lado $2$, considere os pontos $P$, $M$ e $N$ pertencentes aos lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$, respectivamente, tais que

a) $P$ é o ponto médio de $\overline{AB}$,

b) $M$ é o ponto médio de $\overline{BC}$,

c) $PN$ é a bissetriz do ângulo $A\hat{P}C$.

Então, o comprimento do segmento $\overline{MN}$ é igual a


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