Em um triângulo equilátero $ABC$ de lado $2$, considere os pontos $P$, $M$ e $N$ pertencentes aos lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$, respectivamente, tais que

a) $P$ é o ponto médio de $\overline{AB}$,

b) $M$ é o ponto médio de $\overline{BC}$,

c) $PN$ é a bissetriz do ângulo $A\hat{P}C$.

Então, o comprimento do segmento $\overline{MN}$ é igual a