ITA 2015 - Questões

Considere os pontos $A=(0,-1)$, $B=(0,5)$ e a reta $r:2x-3y+6=0$. Das afirmações a seguir:

• I - $\text{d}(A,r)=\text{d}(B,r)$

• II - $B$ é simétrico de $A$ em relação à reta $r$.

• III - $\overline{AB}$ é base de um triângulo equilátero $ABC$, de vértice $C=(-3\sqrt3,2)$ ou $C=(3\sqrt3,2)$.

É (são) verdadeira(s) apenas

Considere as afirmações a seguir:

• I - O lugar geométrico do ponto médio de um segmento $\overline{AB}$, com comprimento $l$ ficado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é umacircunferência.

• II - O lugar geométrico dos pontos $(x,y)$ tais que $6x^3+x^2y-xy^2-4x^2-2xy=0$ é um conjunto finito no plano cartesiano $\mathbb{R}^2$.

• III - Os pontos $(2,3)$, $(4,-1)$ e $(3,1)$ pertencem a uma circunferência.

Destas, é (são) verdadeira(s)

Se $z=\left(\frac{1+\sqrt3i}{1-\sqrt3i}\right)^{10}$, então o valor de $2\arcsin{(\text{Re}(z))+5\arctan(2\text{Im}(z))}$ é igual a

Num triângulo $PQR$, considere os pontos $M$ e $N$ pertencentes aos lados $\overline{PQ}$ e $\overline{PR}$, respectivamente, tais que o segmento $\overline{MN}$ seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo $PQR$. Sabendo-se que o perímetro do triângulo $PQR$ é $25$ e que a medida de $\overline{QR}$ é $10$, então o perímetro do triângulo $PMN$ é igual a

Uma taça em forma de um cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista $h$ do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de