ITA 2014 Matemática - Questões

Das afirmações:

I. Se $x,y \in \mathbb{R}$, com $y\neq x$, então $x+y\in\mathbb{R}$ \ $\mathbb{Q}$;

II. Se $x\in\mathbb{Q}$ e $y\in\mathbb{R}$ \ $\mathbb{Q}$, então $xy\in\mathbb{R}$ \ $\mathbb{Q}$;

III. Sejam $a,b,c\in\mathbb{R},$ com $a<b<c.$ Se $:[a,c]\longrightarrow [a,b] $ é sobrejetora, então $f$ não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Considere as funções $f, g :\mathbb{ Z} → \mathbb{R}, f(x) = ax + m , \;g(x) = bx + n$, em que $a, b, m$ e $n$ são constantes reais. Se $A$ e $B$ são as imagens de $f $ e de $g$, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se $A = B$, então $a = b$ e $m = n$; 

II. Se $A = \mathbb{Z}$, então $a=1$; 

III. Se $a, b, m, n ∈ \mathbb{Z}$, com $a = b$ e $ m = −n$, então $A = B$, 

é (são) verdadeira(s) 

A soma $\sum_{n=1}^{4}\dfrac{log_{1/2}\sqrt[n]{32}}{log_{1/2}8^{n+2}}$ é igual a:

Se $z\in\mathbb{C}$, então $z^6-3|z|^4(z^2-\overline{z}^2)-\overline{z}^6$ é igual a

Sejam $z,w\in\mathbb{C}$. Das afirmações:

I. $|z+w|^2+|z-w|^2=2(|z|^2+|w|^2)$;

II. $(z+\overline{w})^2-(z-\overline{w})^2=4z\overline{w}$;

III. $|z+w|^2-|z-w|^2=4Re(z\overline{w})$,

é (são) verdadeira(s)