ITA 2013 - Questões

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Sejam $a$ um número real e $n$ o número de todas as soluções reais e distintas $x\in [0, 2\pi]$ da equação $\cos^8x − \sin^8x + 4\sin^6x = a$. Das afirmações:

  • I. Se $a=0$, então $n=0$;

  • II. Se $a=\frac{1}{2}$, então $n=8$;

  • III. Se $a=1$, então $n=7$;

  • IV. Se $a=3$, então $n=2$;

é (são) verdadeira(s)


Uma reta $r$ tangencia uma circunferência num ponto $B$ e intercepta uma reta $s$ num ponto $A$ exterior à circunferência. A reta $s$ passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto $C$, tal que o ângulo $A\hat{B}C$ seja obtuso. Então o ângulo $C\hat{A}B$ é igual a


Considere a equação em $\mathbb{C}$, $(z−5+3i)^4=1$. Se $z_0$ é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o valor de $|z_0|$ é


Das afirmações:

  • I. Duas retas coplanares são concorrentes;

  • II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;

  • III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas;

  • IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo;

é (são) verdadeira(s) apenas


No sistema $xOy$ os pontos $A=(2,0)$, $B=(2,5)$ e $C=(0,1)$ são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura $8$. Para este cilindro, a razão $\frac{\text{volume}}{\text{área total da superfície}}$, em unidade de comprimento, é igual a


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