ITA 1990 Matemática - Questões

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01 ITA 1990 - Matemática

Dadas as funções $$f(x) = \dfrac{1 + e^x}{1 - e^x}, X \in \mathbb{R} - \{0\}$$$$g(x) = x \sin x, x\in \mathbb{R}$$podemos afirmar que:

02 ITA 1990 - Matemática

Seja $f: \mathbb{R}→\mathbb{R}$ a função definida por $$f(x) = \begin{cases} x + 2 \; \text{ se } x \leq -1\\ x^2, \; \text{ se } -1 < x \leq 1\\ 4, \; \text{ se } x > 1 \end{cases}$$Lembrando que se $A \subset R $ então $f^{-1}(x) = \{x \in \mathbb{R}: f(x) \in A\}$ considere as afirmações:

I- $f$ não é injetora e $f^{-1} ([3 , 5]) = \{4\}$
II- $f$ não é sobrejetora e $f^{-1} ([3 , 5]) = f^{-1} ([2 , 6])$
III- $f$ é injetora e $f^{-1} ([0 , 4]) = [-2 , +\infty[$

Então podemos garantir que:

Apenas as afirmações II e III são falsas;

As afirmações I e III são verdadeiras;

Apenas a afirmação II é verdadeira;

Apenas a afirmação III é verdadeira;

Todas as afirmações são falsas.

03 ITA 1990 - Matemática

Seja a função $f:\mathbb{R} - \{2\} → \mathbb{R} - \{3\}$ definida por $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x -2}+1$ Sobre sua inversa podemos garantir que:

não está definida pois f é não injetora.

não está definida pois f não é sobrejetora.

está definida por $f^{-1}(y) = \dfrac{y- 2}{y - 3}, y\neq 3.$

está definida por $f^{-1}(y) = \dfrac{y + 5}{y - 3}-1, y\neq 3.$

está definida por $f^{-1}(y) = \dfrac{2y- 5}{y - 3}, y\neq 3.$

04 ITA 1990 - Matemática

Considere as equações $z^3 = i$ e $z^2 + (2+i) z + 2 i = 0$, onde $z$ é complexo. Seja $S_1$ o conjunto das raízes da primeira equação e $S_2$ o da segunda. Então

$S_1 \cap S_2$ é vazio;

$S_1 \cap S_2 \subset R$;

$S_1$ possui apenas dois elementos distintos;

$S_1$ $\cap$ $S_2$ é unitário;

$S_1 \cap S_2$ possui dois elementos.

05 ITA 1990 - Matemática

A igualdade $1 + |z| = |1 + z|$ , onde $z \in C,$ é satisfeita:

Nota :
$C$ denota o conjunto dos números complexos$,$ $\text{Re}\ z$ a parte real de $z$ e $\text{Im}\ z$ a parte imaginária de $z$.

Para todo $z \in C$ tal que $\text{Re}\ z = 0$ e $\text{Im}\ z<0$;

Para todo $z \in C$ tal que $\text{Re}\ z \geq 0$ e $\text{Im}\ z = 0$;

Para todo $z \in C$ tal que $1 = z$ ;

Para todo $z \in C$ tal que $\text{Im}\ z = 0$;

Para todo $z \in C$ tal que $1 < z$ .

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