ITA 1983 Matemática - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!

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01 ITA 1983 - Matemática

Ao girarmos o gráfico da função $$f(x) \begin{cases} x &; x\in [0,1]\\ \sqrt{2x - x^2} &; x \in [1,2] \end{cases}$$em torno do eixo das abcissas (eixo dos $x$), obtemos uma superfície de revolução cujo volume €

02 ITA 1983 - Matemática

Um general possui $n$ soldados para tomar uma posição inimiga. Desejando efetuar um ataque com dois grupos, um frontal com $r$ soldados e outro da retaguarda com $s$ soldados $(r + s = n)$, ele poderá dispor seus homens de:

$\dfrac{n!}{(r+s)!}$ maneiras distintas neste ataque.

$\dfrac{n!}{r!\cdot s!}$ naneiras distintas neste ataque.

$\dfrac{n!}{(rs)!}$ maneiras distintas neste ataque.

$\dfrac{2(n!)}{(r+s)!}$ maneiras distintas neste ataque.

$\dfrac{2(n!)}{r! \cdot s!}$ maneiras distintas neste ataque.

03 ITA 1983 - Matemática

Dadas as funções $f(x^2) = \log_{2x} x$ e $g(x) = 2\sin^2 x - 3\sin x + 1$ definidas parax $x > 0$ e $x \neq 1/2$, o conjunto$$A=\{ x \in (0,2\pi): \;(gof) \; (x) = 0\}$$ é dado por:

$A = \left\{4^{\dfrac{\pi}{2 - \pi}}, 4^{\dfrac{\pi}{6 - \pi}}, 4^{\dfrac{5\pi}{6 - 5\pi}}\right\}$

$A = \left\{2^{\dfrac{\pi}{2 - \pi}}, 2^{\dfrac{\pi}{6 - \pi}}, 2^{\dfrac{5\pi}{6 - 5\pi}}\right\}$

$A = \left\{4^{2 - \pi}, 4^{6 - \pi}, 4^{6 - 5\pi}\right\}$

$A = \left\{4^{\dfrac{2\pi}{2 - \pi}}, 4^{\dfrac{2\pi}{6 - \pi}}, 4^{\dfrac{5\pi}{6 - 5\pi}}\right\}$

$A = \left\{2^{\dfrac{\pi}{2 - \pi}}, 4^{\dfrac{\pi}{6 - \pi}}, 2^{\dfrac{5\pi}{6 - 5\pi}}\right\}$

04 ITA 1983 - Matemática

Considere os números reais não nulos $a$, $b$, $c$, $d$ em progressão geométrica tais que $a$, $b$ e $c$ são raízes da equação (em $x$) $x^3 + Bx^2 - 28x + D = 0$,onde $B$ e $D$ são números reais e $B> 0$. Se $cd - ac = - 2B$, então

$(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2$ e $b^2 + c^2 + d^2 = \dfrac{16B^2}{B^2 + 4B}$

$(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2$ e $b^2 + c^2 + d^2 = \dfrac{16B}{B^2 + 4}$

$(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)$ e $b^2 + c^2 + d^2 = \dfrac{16B}{B + 4}$

$(a^2 + b^2 + c^2)(b + c + d) = (ab + bc + cd)^2$ e $b^2 + c^2 + d^2 = \dfrac{16B}{B + 4}$

$(a^2 + b^2 + c^2)(b + c + d) = (ab + bc + cd)$ e $b^2 + c^2 + d^2 = \dfrac{B+4}{16B}$

05 ITA 1983 - Matemática

Dado o polinômio $P$ definido por $P(x) = \sin \theta - (\tan \theta) x + (\sec^2 \theta)x^2$, os valores de $\theta$ no intervalo $[0, 2\pi]$ tais que $P$ admita somente raízes reais são:

$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ ou $\pi < \theta < 3\dfrac{\pi}{2}$

$\pi \leq \theta < 3\dfrac{\pi}{2}$ ou $3\dfrac{\pi}{2} < \theta < 2\pi$

$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{2} \leq \theta < 3 \dfrac{\pi}{2}$

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