ITA 1983 - Questões

As equações $x^3 + ax^2 + 18 =0 $ e $x^3 + nbx + 12 = 0$, onde $a$ e $b$ são constantes reais e $n$ um inteiro, têm duas raízes comuns. Das afirmativas abaixo, qual é a verdadeira?

As retas ($r'$), ($s'$) e ($t'$) são figuras afins das retas ($r$), ($s$) e ($t$). Determinar o raio da circunferência tangente às retas ($r$), ($s$) e ($t$), sabendo-se que os pontos ($A$) e ($A'$) são pontos afins e ($x$) é o eixo de afinidade.

Dadas as funções $f(x^2) = \log_{2x} x$ e $g(x) = 2\sin^2 x - 3\sin x + 1$ definidas parax $x > 0$ e $x \neq 1/2$, o conjunto$$A=\{ x \in (0,2\pi): \;(gof) \; (x) = 0\}$$ é dado por:

São dadas as retas ($r$) e ($s$) e um ponto ($C$). Construir um hexágono regular, tal que tenha o ponto ($C$) como centro da circunferência circunscrita e dois vértices opostos do hexágono estão um sobre a reta ($r$) e outro sobre a reta ($s$). Determinar graficamente o lado do quadrado de área equivalente a do hexágono.

Uma roda de diâmetro ($d$) está em repouso, apoiada sobre a semirreta de origem ($c$), no ponto ($A$). Em dado instante é posta em movimento, girando, sem deslizar, até atingir o ponto ($B$), onde para. Sabendo-se que os pontos ($c$) e ($e$) são ligados por dois arcos de circunferência, de centros $(O_1)$ e $(O_2)$, e considerando que a roda, para completar o trajeto, deu duas voltas completas, determinar o valor aproximado de seu diâmetro. A solução terá que ser inteiramente gráfica.