ITA 1982 - Questões

Seja $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} ;\left(a_{i}>0, i=1,2, \ldots, n\right)$ uma progressão geométrica de razão $r$ e $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ uma função definida por $f(x) = \log (q x^p)$ onde $p$ e $q$ são números reais positivos. Nestas condições, $f(a_1), f(a_2),\ldots, f(a_n)$ ê

As retas (a), (b) e (c) são lugares geométricos de três pontos, respectivamente, (A), (B) e (C), que pertencem a uma circunferência. Sabendo-se que nesta circunferência o arco $\stackrel{\frown}{AB}$ mede $120^{\text{o}}$ e o arco $\stackrel{\frown}{BC}$ mede $60^{\text{o}}$, pergunta-se qual o valor de seu raio.

Os valores de $\alpha, \beta$ e $r$ que tornam o polinômio $$P(x) = 4x^5 + 2x^4 - 2x^3 +\alpha x^2 +\beta x + r$$divisível por $Q(x) = 2x^3 + x^2 - 2x + 1$ satisfazem as desigualdades

$M_b$ e $M_c$ são, respectivamente, os pontos médios dos lados ($b$) e ($c$) de um triângulo $ABC$. Sabendo-se que o ângulo do vértice ($A$) é igual a $60^{\text{o}}$ e que a altura conduzida deste mesmo vértice ($A$) mede $42\ mm$, pergunta-se o valor do perímetro do triângulo.

A um ajustador mecânico é fornecida uma chapa de aço, retangular. Pede-se o apótema do maior pentágono que pode ser riscado nesta chapa, sabendo-se que as dimensões desta são, respectivamente, a $3ª$ Proporcional e a Média Proporcional dos valores $150\ mm$ e $125\ mm$. A resposta deverá ser indicada na escala de $1: 2,5$.