ITA 1960 Matemática - Questões
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Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
Se $$\lim_{ n \to \infty} {\alpha}^{1/n} = 1; \ \ \ \alpha > 0 \\ \lim_{n \to \infty}{\alpha}^{n} = 0; \ \ \ |\alpha| < 1$$
então podemos concluir que:
a) $\lim_{n \to \infty}{{\alpha}^{1/n} + {\alpha}^{n}} = 1$.
b) $\lim_{n \to \infty}{{\alpha}^{\frac{1+n^2}{n}}} = 0$.
c) $\lim_{n \to \infty}{{\alpha}^{\frac{1-n^2}{n}}} = 1$.
Afirmo que $\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x-1}$, isso é verdadeiro ou falso?
Nas linhas que se seguem há o enunciado de um "teorema" e sua “demonstração”.
Identifique o erro e estabeleça o resultado correto.
Teorema:
Seja $T(x) = ax^2 + bx + c$, se $p$ e $q$ são números tais que $a.T(p) < 0$ e $a.T(q) > 0$ então $T(x) = 0$ tem duas raízes distintas e $p$ e $q$ estão entre as raízes. Além disso, se $a.T(r) = 0$, $r$ é necessariamente uma raiz de $T(x) = 0$.
Demonstração:
Para $b^2 -4ac = 0$, os valores de $T(x)$ diferentes de zero terão o sinal de a; para $b^2 - 4ac < 0$, todo valor númerico de $T(x)$ terá sinal igual ao de $a$. Logo, se $T(x)$ e $a$ têm sinais opostos, só se admite a possibilidade $b^2 - 4ac > 0$. Nesse caso, entre as raízes é que estão os valores de $x$ que dão a $T(x)$ sinal oposto ao sinal de $a$. Razão essa que mostra que o número $q$ está entre as raízes.
Determinar o(s) erro(s) na “dedução” abaixo.
Seja $0 < x < \pi/2$; nessa hipótese $cos(x) < sec(x)$ e multiplicando ambos os lados por
$sen(x) - tg(x)$, obtemos: $$cos(x)(sen(x) - tg(x)) < sec(x)(sen(x) - tg(x))$$ ou $$sen(x)cos(x) - sen(x) < tg(x) - tg(x)sec(x)$$ para $x = 45^{\circ}$ temos: $$\frac{1}{2} -\frac{\sqrt2}{2} < 1 - \frac{2}{\sqrt2}$$ e sucessivamente $$-\frac{\sqrt2}{2} < \frac{1}{2} - \sqrt2 \\ \frac{\sqrt2}{2} < \frac{1}{2} \\ \sqrt2 < 1$$
Determinar $a$, $b$ e $c$ de modo que a identidade abaixo seja verificada. $a$, $b$ e $c$ não são simultaneamente iguais a zero. $$a(x - 2y +z) +b(x-3y+5z)+c(5x-11y+9z) = 0$$
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