IME 2019 - Questões

Considere as afirmações abaixo:

• I. se três pontos são colineares, então eles são coplanares;

• II. se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;

• III. se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam $6$ (seis) planos;

• IV. duas retas não paralelas determinam um plano;

• V. se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.

Entre essas afirmações:

Calcule o valor do determinante:$$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \\ \log{81} &\log{900} &\log{300} \\ (\log{9})^2 & 2 + 4 \log{3} + 2(\log{3})^2 & (\log{3} + 2)^2 \end{vmatrix}$$

Sejam $x_1$, $x_2$ e $x_3$ raízes da equação $x^3 - ax - 16 = 0$. Sendo $a$ um número real, o valor de $x_1 \ ^3 + x_2 \ ^3 + x_3 \ ^3$ é igual a:

Definimos a função $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ da seguinte forma:

$$\begin{cases} f(0) = 0 \\ f(1) = 1 \\ f(2n) = f(n){,} & n \geq 1 \\ f(2n + 1) = n^{2}{,} & n \geq 1 \end{cases}$$

Definimos a função $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ da seguinte forma: $g(n) = f(n) \cdot f(n + 1)$.

Podemos afirmar que:

Os ângulos $\theta_{1}{,} \ \theta_{2}{,} \ \theta_{3}{,} \ldots {,} \ \theta_{100}$ são os termos de uma progressão aritmética na qual $\theta_{11} + \theta_{26} + \theta_{75} + \theta_{90} = \frac{\pi}{4}$. O valor de $\sin{(\sum^{100}_{i = 1} \theta_{i})}$ é: