IME 2018 Física - Questões

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As fibras ópticas funcionam pelo Princípio da Reflexão Total, que ocorre quando os raios de luz que seguem determinados percursos dentro da fibra são totalmente refletidos na interface núcleo-casca, permanecendo no interior do núcleo. Considerando apenas a incidência de raios meridionais e que os raios retratados para a casca são perdidos, e ainda, sabendo que os índices de refração do ar, do núcleo e da casca são dados, respectivamente, por $n_0$, $n_1$ e $n_2$ ($n_1>n_2>n_0$), o ângulo máximo de incidência $\theta_a$ na interface ar-núcleo, para o qual ocorre a reflexão total no interior da fibra é:

Considerações:
- raios meridionais são aqueles que passam pelo centro do núcleo; e
- todas as opções abaixo correspondem a números reais.

A figura acima mostra esquematicamente um tipo de experimento realizado em um túnel de vento com um tubo de Pitot, utilizado para medir a velocidade $v$ do ar que escoa no túnel de vento. Para isso, a diferença de nível $h$ entre as colunas do líquido é registrada. Em um dia frio, o experimento foi realizado e foi obtido o valor de $10,00\ cm$ para a diferença de nível $h$. Em um dia quente, o experimento foi repetido e foi obtido o valor de $10,05\ cm$ para a diferença de nível $h$. Determine:

a) o valor do coeficiente de dilatação volumétrica do líquido no interior do tubo, sabendo que a variação de temperatura entre o dia quente e o dia frio foi de $25\ K$;

b) a velocidade do ar $v$.

Dados:
• a massa específica do líquido é $1.000$ vezes maior que a massa específica do ar no dia frio; e
• aceleração da gravidade: $g = 10\ m/s^2$

Considerações:
• a velocidade do ar no túnel de vento foi a mesma nos dois experimentos;
• a massa específica do ar foi a mesma nos dois experimentos;
• a aceleração da gravidade foi a mesma nos dois experimentos; e
• despreze a dilatação térmica da estrutura do tubo de Pitot.

Conforme a figura acima, um corpo, cuja velocidade é nula no ponto $A$ da superfície circular de raio $R$, é atingido por um projétil, que se move verticalmente para cima, e fica alojado no corpo. Ambos passam a deslizar sem atrito na superfície circular, perdendo o contato com a superfície no ponto $B$. A seguir, passam a descrever uma trajetória no ar até atingirem o ponto $C$, indicado na figura. Diante do exposto, a velocidade do projétil é:

Dados:
• massa do projétil: $m$;
• massa do corpo: $9m$; e
• aceleração da gravidade: $g$.

Uma partícula carregada tem sua posição no sistema de eixos $XY$ regida pelas seguintes equações temporais, que expressam, em metros, as coordenadas $X$ e $Y$ da partícula em função do tempo $t$:$$X(t)=\sqrt{1+\cos^2(t)-\sin^2(t)}$$ $$Y(t)=\sqrt{2+2\sin^2(t)}$$Determine:

a) a equação de uma curva que contenha a trajetória da partícula;

b) o comprimento da curva formada por todos os pontos por onde a partícula passa;

c) o tempo mínimo gasto pela partícula para trafegar por todos os pontos da curva do item anterior;

d) as coordenadas de dois pontos nos quais a velocidade da partícula é nula;

e) o gráfico do módulo da força elétrica sofrida por uma segunda partícula de mesma carga, fixada na origem, em função do tempo;

f) o gráfico da função $Q$ do vetor força magnética $F_m$ à qual estaria submetida a partícula, caso houvesse um campo magnético positivo e paralelo ao eixo $Z$, ortogonal ao plano $XY$, onde:$$Q(F_m)=\begin{cases} 1,\ \text{se }0 \leq\ \text{fase de } F_m<\frac{\pi}{2} \\ 2,\ \text{se }\frac{\pi}{2} \leq\ \text{fase de } F_m<\pi \\ 3,\ \text{se }\pi \leq\ \text{fase de } F_m<\frac{3\pi}{2} \\ 4,\ \text{se }\frac{3\pi}{2} \leq\ \text{fase de } F_m< 2\pi \end{cases}$$

Dados:
• carga da partícula: $+ 4 \times 10^{-4} C$; e
• constante de Coulomb: $9 \times 10^9 \frac{Nm^2}{C^2}$.

Como mostra a Figura $1$, uma partícula de carga positiva se move em um trilho sem atrito e sofre a interação de forças elétricas provocadas por outras partículas carregadas fixadas nos pontos $A$, $B$, $C$ e $D$. Sabendo que as cargas das partículas situadas em $B$ e $D$ são iguais e que uma parte do gráfico da velocidade da partícula sobre o trilho, em função do tempo, está esboçada na Figura $2$, o gráfico completo que expressa a velocidade da partícula está esboçado na alternativa:

Observações:
• $r<< d$;
• em $t = 0$
a partícula que se move no trilho está à esquerda da partícula situada no ponto $A$;
• considera-se positiva a velocidade da partícula quando ela se move no trilho da esquerda para a direita.

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