IME 2013 Matemática - Questões

Os polinômios $P(x) = x^{3} + ax^{2} + 18$ e $Q(x) = x^{3} + bx + 12$ possuem duas raízes comuns. Sabendo que $a$ e $b$ são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação

Considere $\log_{\sqrt{b}}{(a)^2} = 4$, com $a$ e $b$ números reais positivos. Determine o valor de $m$, número real, para que a equação $x^3 - 18x^2 + [\log_{b}{(ab)^{m}} + 8 - m] \cdot x - \log_{b}{(a)^{2m}}$ tenha três raízes reais em progressão aritmética.

Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão $[4cos^{2}{(9^{\circ})} - 3][4 \cos^{2}{(27^{\circ})} - 3]$:

Considere $a$, $b$ e $c$ números inteiros e $2 < a < b < c$. Determine o(s) valor(es) de $x$, $y$ e $z$, que satisfaçam o sistema de equações:$$\begin{cases} ax - 2by + 3cz = 2abc \\ 3ax - 4by = -abc \\ -by +cz = 0 \\ xyz = 2013^{2} \end{cases}$$

Considere a equação $\log_{3}{\frac{3}{x}} + (\log_{3}{x})^{2} = 1$. A soma dos quadrados das soluções reais dessa equação está contida no intervalo