IME 2010 Matemática - Questões

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Sejam $r$, $s$, $t$ e $v$ números inteiros positivos tais que $\displaystyle \frac{r}{s}<\frac{t}{v}$. Considere as seguintes relações:

i.  $\displaystyle \frac{(r+s)}{s}<\frac{(t+v)}{v}$

ii.  $\displaystyle \frac{r}{(r+s)}<\frac{t}{(t+v)}$

iii.  $\displaystyle \frac{r}{s}<\frac{(r+t)}{(s+v)}$

iv.  $\displaystyle \frac{(r+t)}{s}<\frac{(r+t)}{v}$

O número total de relações que estão corretas é:


Sejam os conjuntos $P_1$, $P_2$, $S_1$ e $S_2$ tais que $(P_2 \cap S_1)\subset P_1$, $(P_1 \cap S_2)\subset P_2$ e $(S_1 \cap S_2) \subset (P_1 \cup P_2)$. Demonstre que $(S_1 \cap S_2)\subset ( P_1 \cap P_2 )$.

Considere o determinante de uma matriz de ordem $n$ definido por:

$$\Delta_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&1& \cdots & 1&1 \\ -1&3&0&0&\cdots &0&0 \\ 0&-1&3&0&\cdots &0&0 \\ 0&0&-1&3& \cdots &0&0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\ 0&0&0&0& \cdots &3&0 \\ 0&0&0&0&\cdots &-1&3 \end{vmatrix}$$

Sabendo que $\Delta_1 = 1$, o valor de $\Delta_{10}$ é


Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado.

O valor da expressão $y=\sin{[\arcsin(\frac{1}{a^2-1})+\arccos(\frac{1}{a^2-1})]}$, onde $a$ é um número real e $a \in (-1,0)$, é:


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