IME 2003 - Questões

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Dada numa circunferência de raio $R$, inscreve-se nela um quadrado. A seguir, inscreve-se uma circunferência neste quadrado. Este processo se repete indefinidamente para o interior da figura de maneira que cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em função de $R$, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências que os circunscrevem, conforme mostra a figura.

Sobre uma reta $r$ são marcados os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$. São construídos os triângulos equiláteros $ABE$ $BCF$ e $CDG$, de forma que os pontos $E$ e $G$ se encontram do mesmo lado da reta $r$, enquanto que o ponto $F$ se encontra do lado oposto, conforme mostra a figura. Calcule a área do triângulo formado pelos baricentros de $ABE$, $BCF$ e $CDG$ em função dos comprimentos dos segmentos $AB$, $BC$ e $CD$.

Sejam $A$ e $B$ dois subconjuntos de $\mathbb{N}$. Por definição, uma função $f : A \to B$ é crescente se $a_1 > a_2 \Longrightarrow f(a_{1}) \geq f(a_{2})$, para quaisquer $a_1$ e $a_2$ $\in A$.

a) Para $A = \{1{,} \ 2\}$ e $B = \{1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4\}$, quantas funções de $A$ para $B$ são crescentes?

b) Para $A = \{1{,} \ 2{,} \ 3\}$ e $B = \{1{,} \ 2{,} \ldots {,} \ n\}$, quantas funções de $A$ para $B$ são crescentes, onde $n$ é um número inteiro maior que zero?

Determine todos os valores reais de $x$ que satisfazem a equação:

$| \log{(12x^3 - 19x^2 + 8x)}| = \log{(12x^3 - 19x^2 + 8x)}$

onde $\log{(y)}$ e $|y|$ representam, respectivamente, o logaritmo na base $10$ e o módulo de $y$.

Demonstre que $\sqrt[3]{20 +  14 \sqrt{2}} \ + \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}}$ é um número inteiro múltiplo de quatro.

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