IME 1997 Matemática - Questões
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Resolva o sistema abaixo:
$\begin{cases} x^{y} = y^{x} \\ y = ax \end{cases} \, onde \ a \neq 1 \ e \ a > 0$
Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:
$\big( 1 + 1/3 \big)^{65}$
Dados os pontos $A$ e $B$ do plano, determine a equação do lugar geométrico dos pontos $P$ do plano, de tal modo que a razão entre as distâncias de $P$ a $A$ e de $P$ a $B$ seja dada por uma constante $k$. Justifique a sua resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para $k$.
Em cada uma das $6$ (seis) faces de um cubo, construiu-se uma circunferência, onde foram marcados $n$ pontos. Considerando que $4$ (quatro) pontos não pertencentes à mesma face, não sejam coplanares, quantas retas e triângulos, não contidos nas faces desse cubo, são determinados pelos pontos.
Considere a função $y = f(x) = \ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})}$. Responder aos itens a seguir, justificando sua resposta.
a) Se $g(x) = \ln{(2x)}$, que relação existe entre os gráficos das curvas $f$ e $g$?
b) Pode-se afirmar que a função definida por $H(x) = \frac{f(x)}{2}$ é uma primitiva para a função $T(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}$?
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