IME 1997 - Questões

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Dados os pontos $A$ e $B$ do plano, determine a equação do lugar geométrico dos pontos $P$ do plano, de tal modo que a razão entre as distâncias de $P$ a $A$ e de $P$ a $B$ seja dada por uma constante $k$. Justifique a sua resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para $k$.


Considere a função $y = f(x) = \ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})}$. Responder aos itens a seguir, justificando sua resposta.


a) Se $g(x) = \ln{(2x)}$, que relação existe entre os gráficos das curvas $f$ e $g$?

b) Pode-se afirmar que a função definida por $H(x) = \frac{f(x)}{2}$ é uma primitiva para a função $T(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}$?

Considere os números ímpares escritos sucessivamente, como mostra a figura abaixo, onde a n-ésima linha compreende $n$ números. Encontre em função de $n$, nesta linha, a soma de todos os números escritos, bem como o primeiro e o último.

$\begin{matrix} 1 \\ 3 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \\ 13 & 15 & 17 & 19 \\ 21 & 23 & 25 & 27 & 29 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}$


Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:

$\big( 1 + 1/3 \big)^{65}$


Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases está apoiada na base do cone. Seja $V_1$ o volume do cone e $V_2$ o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante $k$ para o qual $V_1 = k V_2$


Obs: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extremidades deste diâmetro

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