IME 1996 - Questões
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Um triângulo $ABC$ tem base $AB$ fixa sobre uma reta $r$. O vértice $C$ desloca-se ao longo de uma reta $s$, paralela a $r$ e a uma distância $h$ da mesma.
Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo $ABC$.
Calcule a soma abaixo:$$\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \ldots + \frac{1}{2998 \times 3001}$$
Sejam $5$ (cinco) pontos $AOBO'A'$, nesta ordem, pertencentes a uma reta genérica $r$ tal que $AO = OB = 3a$; $BO' = O'A' = 2a$, onde $a$ é um comprimento dado. Traçam-se os círculos $(O)$, com diâmetro $AB$, e $(O')$, com diâmetro $BA'$. Sejam $C$ e $D$ dois pontos quaisquer do círculo $(O)$; as retas $BC$ e $BD$ cortam o círculo $(O')$ respectivamente em $C'$ e $D'$.
a) Calcule $\dfrac{BC'}{BC}$.
b) Calcule $\dfrac{C'D'}{CD}$.
c) Seja o ângulo $C \hat{B} D$ igual a $30^{\circ}$. Calcule, em função de $a$, a razão entre as áreas dos segmentos circulares $S$, no círculo $(O)$ limitado pela corda $CD$, e $S'$, no círculo $(O')$ limitado pela corda $C'D'$.
Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, onde $n$ é um número natural.$$\cos^{n}{x} - \sin^{n}{x} = 1$$
Sejam $w_0 = 1{,} \ w_1 = j{,} \ w_2 = j^2$ as raízes cúbicas da unidade no plano complexo (considere $w_1$ o número complexo de módulo $1$ e argumento ${{2 \pi}/{3}}$).
Sabendo-se que se $c \in \mathbb{C}$, a rotação $R$ em torno do ponto $c$ e amplitude igual a ${{\pi}/{3}}$ é dada por $R(z) = -j^{2}z -jc{,} \ \forall z \in \mathbb{C} - \{c\}$, pede-se:
a) Determinar as relações existentes entre $a{,} \ b{,} \ c{,} \ j{,} \ j^2$, onde $a{,} \ b \in \mathbb{C}$, de modo que o triângulo $a{,} \ b{,} \ c$ seja equilátero.
b) Determinar $z$ para que o triângulo $i{,} \ z{,} \ iz$ seja equilátero.
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