IME 1994 Matemática - Questões

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Determine o termo independente de $x$ de $ ( \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}}) ^{10}$

Seja $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função quadrática tal que $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Sabendo que $x_1 = -1$ e $x_2 = 5$ são raízes e que $f(1) = -8$, pede-se:

a) Determinar $a$, $b$, $c$.

b) Calcular $f(0)$.

c) Verificar se $f(x)$ apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta.

d) As coordenadas do ponto extremo.

e) O esboço do gráfico.

Seja um octógono convexo. Suponha que quando todas as suas diagonais são traçadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto. Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem neste octógono?

Considere os números complexos $z = x + y\cdot i$ e $w = y –x\cdot i$, cujos módulos são tais que $|z| = e^{|w|\cdot \frac{\sqrt3}{x}}$ e $|w| = e^{|z|\cdot \frac{1}{y}}$ , onde $e$ é base dos logaritmos neperianos. Obter a forma polar de $z^2$.

Um aluno, ao inverter a matriz

$$A=\begin{array} =\begin{bmatrix}1& a& b& \\0& c& d&\\4& e& f \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}&, 1 \leq i, j \leq 3 \end{array}$$

cometeu um engano, e considerou o elemento $a_{13}$ igual a $3$, de forma que acabou invertendo a matriz

$$B =\begin{bmatrix}1& a& b \\0& c& d\\3& e& f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{ij} \end{bmatrix}$$

Com esse engano o aluno encontrou

$$B^{-1} =\begin{bmatrix}5/2& 0& -1/2 \\3& 1& -1\\-5/2& 0& 1/2 \end{bmatrix}$$

Determinar $A^{-1}$.

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