IME 1991 - Questões

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A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois décimos do total de selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e $303$ selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?


a) Sendo dada a equação $x^3 +px + q = 0{,} \ p{,} \ q \in \mathbb{R}$, que relação deverá existir entre p e q para que uma das raízes seja igual ao produto das outras duas?

b) Mostre que a equação $x^3 - 6x - 4$ satisfaz a relação encontrada e, em seguida, encontre suas raízes.

Mostre que

$\frac{1}{2} + \cos{x} + \cos{2x} + \ldots + \cos{nx} = \frac{\sin{\frac{(2n+1)x}{2}}}{2 \sin{\frac{x}{2}}}$


Dado o conjunto $A = \{1{,} \ 2{,} \ 3{,} \cdots {,} \ 102\}$, pede-se o número de subconjuntos de $A$, com três elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três


Determine o quadrado $OABC$ cujos vértices são a origem e os pontos $A(1{,} \ 1){,} \ B(0{,} \ 2)$ e $C(-1{,} \ 1)$. Seja $F(0{,} \ 1)$ o centro desse quadrado e $P$ a parábola de foco $F$ e cuja diretriz é o eixo das abscissas. Pede-se:


Mostre que $P$ passa por $A$ e $C$.

Determine a equação dessa parábola.

Calcule as coordenadas do ponto $D$, segundo ponto de interseção da reta $BC$ com $P$.

Seja $M$ um ponto qualquer de $P$ cuja abscissa é $x$. Mostre que a potência de $M$ em relação ao círculo $(c)$ de diâmetro $\overline{CD}$ é $\frac{1}{4} \cdot (x + 1)^3 \cdot (x - 3)$.

A partir do resultado anterior, encontre o conjunto dos pontos de $P$ interiores a $(c)$.

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