IME 1986 Matemática - Questões
Abrir Opções Avançadas
Determine $$\log_{\sqrt{0,333\cdots}}{\sqrt{0,037037\cdots}}$$
Seja um paralelepípedo retângulo de bases $ABCD$ e $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$, cujas arestas $AA^\prime$, $BB^\prime$, $CC^\prime$ e $DD^\prime$ tenham por comprimento h e os lados da base sejam, respectivamente, $AB = a$ e $AD = b$. Por $DD^\prime$ considere dois planos $DD^\prime MM^\prime$ e $DD^\prime NN^\prime$.
a) Determine as distâncias $AM = x$ e $CN = y$ para que esses dois planos dividam o paralelepípedo em três partes de mesmo volume.
b) Determine a razão entre os volumes dos sólidos $MBNM^\prime B^\prime N^\prime$ e $MDNM^\prime D^\prime N^\prime$.
c) Encontre a relação entre $a$ e $b$, que estabeleça a condição necessária e suficiente para que o diedro de aresta $MM^\prime$, cujas faces passem por $DD^\prime$ e $NN^\prime$, seja reto.
No produto abaixo, o “*” substitui algarismos diferentes de “$3$” e não necessariamente iguais. Determine o multiplicando e o multiplicador.
Seja um triângulo $ABC$, retângulo em $A$. Por $B$, traça-se uma reta perpendicular ao plano do triângulo. Sobre esta, fixa-se um ponto $S$. Por $B$, passa-se um plano que intercepta $SC$ em $C^\prime$ e seja perpendicular a $SC$. O plano corta $SA$ em $A^\prime$. Demonstre que os cinco pontos $A$, $B$, $C$, $A^\prime$ e $C^\prime$ pertencem a uma mesma esfera.
Seja $N∗$ o conjunto dos números naturais não nulos e $n \in N^∗$. Mostre que a relação $R_n = \{(a, b)|a, b \in N^∗\text{ e $|a - b|$ é múltiplo de n}\}$ é uma relação de equivalência.
Carregando...