[IME 1986] Seja um paralelepípedo retângulo de...

01 IME 1986 - Matemática

Seja um paralelepípedo retângulo de bases $A BC D$ e $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cujas arestas $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ e $D D^{'}$ tenham por comprimento h e os lados da base sejam, respectivamente, $A B = a$ e $A D = b$ . Por $D D^{'}$ considere dois planos $D D^{'} M M^{'}$ e $D D^{'} N N^{'}$ .

a) Determine as distâncias $A M = x$ e $CN = y$ para que esses dois planos dividam o paralelepípedo em três partes de mesmo volume.

b) Determine a razão entre os volumes dos sólidos $MBN M^{'} B^{'} N^{'}$ e $M D N M^{'} D^{'} N^{'}$ .

c) Encontre a relação entre $a$ e $b$ , que estabeleça a condição necessária e suficiente para que o diedro de aresta $M M^{'}$ , cujas faces passem por $D D^{'}$ e $N N^{'}$ , seja reto.