IME 1985 Matemática - Questões

Sejam as funções$$z = \frac{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}}$$ $$y = \sqrt{1 - x^4}$$

Mostre que no subconjunto dos reais onde as funções são definidas $\frac{dz}{dy} = \frac{z}{x^4}$

Dá-se um triângulo retângulo isósceles de catetos $AB = AC = \ell$. Descreve-se um quarto de círculo $(Q)$ de centro $A$, ligando os vértices $B$ a $C$. Com diâmetro $BC$, descreve-se um semicírculo $(S)$ exterior ao triângulo e que não contém $A$. Traçam-se duas semicircunferências de diâmetros $AB$ e $AC$, $(S_b)$ e $(S_c)$, ambas passando pelo ponto $D$, meio de $BC$. Seja $M$ a superfície compreendida entre $(Q)$ e $(S)$. Seja $N$ a superfície entre $(Q)$ e o arco $BD$ de $(S_b)$ e o arco $CD$ de $(S_c)$. Seja $P$ a superfície limitada pelos arcos $AD$ de $(S_c)$ e $AD$ de $(S_b)$. Demonstre que:

Encontre o valor de $k$ para que a reta determinada pelos pontos $A(0{,} \ 3)$ e $B(5{,} \ -2)$ seja tangente à curva $y = \frac{k}{x + 1}$ para $x \neq 1$.

Em um triângulo $ABC$ são dados o lado $a$, a soma dos outros dois lados, $b + c = \ell$, e a área $S$.

Determine o valor de $b$ tal que

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{t=0}^{n} {\log_{p}{5^{t+1}}} = 4$$

onde $p = b^{(t+1)2^{t}}$.