IME 1983 Matemática - Questões
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Determine a equação, identificando a sua natureza, do lugar geométrico de um ponto que se desloca de tal forma que o quadrado de sua distância ao ponto $(1{,} \ 1)$ é proporcional à sua distância à reta $x + y = 0$.
Mostre que o lado do icoságono regular convexo é igual à diferença, dividida por $\sqrt{2}$, entre o lado do decágono regular estrelado e o lado do pentágono regular convexo. Todos os três polígonos estão inscritos em um mesmo círculo de raio $r$.
Dada a equação $2mx^2 - 2x - 3m - 2 = 0$ , onde $m \in \mathbb{R}$:
$a)$ Determine $m$ tal que uma raiz seja nula; calcule a outra raiz.
$b)$ Mostre que a equação dada tem sempre duas raízes distintas.
$c)$ Determine $m$ para que uma raiz seja inferior a $1$ e a outra seja superior a $1$.
Dada a equação
$ \cos{(2x + \frac{\pi}{6})} - m \sin^{2}{x} = 0 $ ,
determine a condição a que deve satisfazer m para que ela tenha pelo menos uma solução $x_{0}$, tal que $0 < x_{0} < 2\pi$.
Seja $F$ o conjunto das funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ que satisfazem $f(xy) = f(x) + f(y)$. Dados $f \in F$ e $a \in \mathbb{R}$ define-se a função $g_{a} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g_{a}(x) = f(ax) - f(x)$.
$a)$ Mostre que $f(1) = 0{,} \ \forall f \in F$.
$b)$ Mostre que $\forall a \in \mathbb{R}$, $g_{a}$ é função constante.
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