IME 1982 - Questões
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Dado o número $m = 2^4 \times 3^3 \times 5^2$, determine quantos números inteiros positivos não maiores que $m$ são primos relativos com $m$.
Seja a função $f$ definida, no conjunto dos reais, por:$$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{para $x \leq -2$} \\ \cos \frac{\pi x}{2}, & \text{para $- 2 < x \leq 0$} \\ e^{-2x}, & \text{para $0 < x \leq 1$} \\ \frac{1}{x}, & \text{para $x > 1$} \end{cases}$$
a) Determine o domínio e a imagem de $f$.
b) Determine os pontos de descontinuidade e os pontos onde $f$ não é derivável.
c) Determine os intervalos em que $f$ é crescente e os intervalos em que $f$ é decrescente.
d) Determine os pontos e os valores de máximo e mínimo de $f$. Calcule o supremo e o ínfimo da imagem de $f$.
a) O quadrado de qualquer número par $2n$ pode ser expresso como a soma de $n$ termos, em progressão aritmética. Determine o primeiro termo e a razão desta progressão.
b) Três progressões geométricas têm mesma razão $q$ e primeiros termos diferentes $a$, $b$, $c$. A soma dos $n$ primeiros termos da primeira é igual à soma dos $2n$ primeiros termos da segunda e igual à soma dos $3n$ primeiros termos da terceira. Determine a relação que liga as razões $\frac{b}{a}$ e $\frac{c}{a}$, em funçãoo somente de $a$, $b$ e $c$.
Seja $M_n(R)$ o conjunto de matrizes quadradas de ordem $n$, de coeficientes reais. Define-se a função,$$\Psi : M_n(R) \times M_n(R) \to M_n(R) \text{ por}$$$$\Psi(A, B) = AB - BA$$Calcule:$$\Psi(\Psi(A, B), C) + \Psi(\Psi(B, C), A) + \Psi(\Psi(C, A), B)$$
Calcule o coeficiente do termo em $x^3$, no desenvolvimento de:$$(2x - 3)^4 (x + 2)^5$$
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