IME 1980 - Questões

Determine o polinômio $f(x)$ de coeficientes racionais e do $7^\circ$ grau, sabendo-se que: $f(x) + 1$ é divisível por $(x − 1)^4$ e que $f(x) - 1$ é divisível por $(x + 1)^4$.

Resolva as equações:

$$x^3-7x^2-204x+1260 = 0$$

$$x^3-15x^2-394x+840 = 0$$

sabendo-se que a primeira tem uma raiz cujo valor é o triplo do valor de uma raiz da segunda.

Seja $f$ uma função real de variável real, não constante, contínua, tal que existe uma função $\phi$, $\phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $f(x + y) = \phi (f(x), y)$, para todos $x$ e $y$ reais.

Prove que $f$ é estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Seja $I = [-1, 2] \subset \mathbb{R}$. Dê exemplo de uma função contínua em $I$ tal que não exista um ponto $a \in ]-1, 2[$ que satisfaça a condição:$$f(2) - f(-1) = 3f^\prime (a)$$

Um velho manuscrito descrevia a localização de um tesouro enterrado: 

“Há somente duas árvores, $A$ e $B$, em um terreno plano, e um canteiro de tomates. $A$ é uma mangueira, e $B$ uma jabuticabeira. A partir do centro $K$ do canteiro, meça a distância em linha reta até a mangueira. Vire $90^\circ$ à esquerda e percorra a mesma distância até o ponto $C$. Volte ao canteiro. Meça a distância em linha reta até a jabuticabeira. Vire $90^\circ$ à direita e percorra a mesma distância até o ponto $D$. O tesouro está no ponto médio $T$ do segmento $CD$. 

Um aventureiro achou o manuscrito, identificou as árvores mas, como o canteiro desaparecera com o passar do tempo, não conseguiu localizá-lo, e desistiu da busca. O aluno Sá Bido, do IME, nas mesmas condições, diz que seria capaz de localizar o tesouro. Mostre como você resolveria o problema, isto é, dê as coordenadas de $T$ em função das coordenadas de $A = (5, 3)$ e $B = (8, 2)$.