IME 1979 Matemática - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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Admita $Y=(a,b,c)$ e seja a função $h:Y\times Y\to Y$ definida por:$$h(a, a) = a\quad h(b, a) = b\quad h(c, a) = c\\h(a, b) = b\quad h(b, b) = c\quad h(c, b) = a\\h(a, c) = c\quad h(b, c) = a\quad h(c, c) = b$$Considere uma função $f:\mathbb{Z}\to Y$ tal que:$$f(0) = a\\f(1) = b\\\text{e }\forall n,m\in\mathbb{Z}, f(n+m) = h(f(n), f(m))$$Sabe-se que $\forall n\in\mathbb{Z},\ f(3n) = a$.

a) Determine $y\in Y$, tal que $h(y,f(52))=f(45)$.

b) Encontre um $H\subset \mathbb{Z}$, tal que $f(H)=\{c\}$.

Achar os valores de $x$ que satisfazem a equação:$$\sqrt{\pi^2-4x^2}=\arcsin (\cos x)$$

Dadas as matrizes:$$A=\begin{pmatrix}x-2&0&0\\3&-1&1\\1&0&1+x\end{pmatrix}\text{ e }B=\begin{pmatrix}0&-x&0\\-1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$$determine $x$, sabendo-se que existe uma matriz inversível $P$, tal que $A=P^{-1}BP$

Seja uma circunferência $(C)$ na qual está inscrito um pentágono regular convexo $\text{ABCDE}$ (nesta ordem sobre $(C)$ e no sentido trigonométrico). Considere $M$ o ponto médio do arco $AE < 180^{\circ}$ e $P$ um ponto qualquer do mesmo arco.

a) Sendo $P\ne M$,$P\ne A$ e $P\ne E$, prove que $PA+PE+PC=PB+PD\quad(1)$

b) Se $P$ coincidir com $A$, mostre o que acontece com a relação $(1)$.

c) Se $P$ coincidir com $M$, mostre que de $(1)$ pode-se obter uma relação entre o raio da circunferência $(C)$ e os lados dos decágonos regulares inscritos convexo e estrelado.

Obs.: As soluções dos três sub-itens acima são independentes.

Seja a equação $x^3+px^2+qx+r=0$ cujas raízes são: $a,b,c$. Determine $s,t$ e $u$, em função de $p,q$ e $r$, para que a equação $x^3+sx^2+tx+u=0$ tenha raízes $bc$, $ca$ e $ab$.

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