IME 1979 - Questões

Seja a equação $x^3+px^2+qx+r=0$ cujas raízes são: $a,b,c$. Determine $s,t$ e $u$, em função de $p,q$ e $r$, para que a equação $x^3+sx^2+tx+u=0$ tenha raízes $bc$, $ca$ e $ab$.

Calcule $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x$.

Seja uma progressão aritmética de 1º termo $a_1\ne 0$ e último termo $a_{10}$ tal que $a_1\ne a_{10}\ne 0$.

Seja a progressão aritmética de 1º termo $b_1=\frac{1}{a_1}$ e último termo $b_{10}=\frac{1}{a_{10}}$.

Calcule $\dfrac{a_5}{b_6}$ em função de $a_1$ e $a_{10}$.

Dadas as matrizes:$$A=\begin{pmatrix}x-2&0&0\\3&-1&1\\1&0&1+x\end{pmatrix}\text{ e }B=\begin{pmatrix}0&-x&0\\-1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$$determine $x$, sabendo-se que existe uma matriz inversível $P$, tal que $A=P^{-1}BP$

E dada a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que:$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x+k}{\sqrt[3]{x^2-1}},\text{ se }x\ne\pm1\\0,\qquad\quad\ \ \text{ se }x=1\\-1,\qquad\ \ \ \text{ se }x=-1\end{cases}$$