IME 1978 Matemática - Questões

Determine as soluções da equação $$36x^3-12x^2-5x+1=0$$ dado que uma de suas raízes é a soma das outras duas.

Dados os arcos $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{D}$; todos do primeiro quadrante, e tais que $\tan\hat{A}= 1/3$, $\tan \hat{B} = 1/5$, $\tan \hat{C} = 1/7$ e $\tan \hat{D} = 1/8$, verificar se $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=\pi/4$.

Seja um polinômio$$p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$com coeficientes reais. Sabe-se que $p(0)=0$, $p(2)=4$, que a reta tangente a $p(x)$ no ponto $(1,1)$ é paralela à reta $y=2x+2$ e que a reta tangente a $p(x)$ no ponto $(2,4)$ é perpendicular à reta $y=-\frac{1}{3}x-4$. Determine os coeficientes $a_3$, $a_2$, $a_1$, $a_0$.

Designa-se por ($T$) um triângulo $ABC$ no qual sua altura $AD$ é cortada ao meio no ponto $H$, pela altura $CE$.

• a) Demonstrar que as tangentes dos ângulos internos $B$ e $C$ de um triângulo ($T$) verificam à relação $$\tan \hat{B}\cdot \tan\hat{C}=2$$ 

• b) Suposta satisfeita a relação de (a), dá-se o ângulo $\hat{A}$ do triângulo ($T$).

Calcular os ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$. Qual a condição que deve ser satisfeita pelo ângulo $\hat{A}$ para que o triângulo ($T$) exista?

Mostre que, em toda reunião constituída de seis pessoas, uma das hipóteses necessariamente ocorre (podendo ocorrer ambas):