IME 1976 - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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Sendo $$A = \left(\frac{1^{\frac{1}{n}} + 2^{\frac{1}{n}} + 3^{\frac{1}{n}}}{3}\right)^n$$
calcule, caso exista, $lim_{n \to \infty}{A}$.

Suponha que $r_1$, $r_2$ e $r_3$ são as raízes da equação $x^3 + mx + n = 0$. Os coeficientes $m$ e $n$ são reais, sendo $n>m$. Sabendo que $$\frac{1}{1+r_1}+\frac{1}{1+r_2}+\frac{1}{1+r_3}=1$$

e que $r_1 = r_2 \cdot r_3$,

determine $m$, $n$, $r_1$, $r_2$, $r_3$.

$r_1$ é igual ao produto de $r_2$ e $r_3$.

Considere um polinômio $P(x)$, do sétimo grau. Sabendo que $\{P(x) + 1\}$ é divisível por $(x-1)^4$ e que $\{P(x) -1\}$ é divisível por $(x+1)^4$, determine $P(x)$.

As partes real e complexa de um ponto $z = x +yi$ do plano complexo são representadas, respectivamente, por: $$x = \text{Re}(z)\ \text{e}\ y = \text{Im}(z)$$Dados dois pontos do plano complexo, $z_1=2 +3i$ e $z_2= 4 + 5i$, determine e esboce o lugar geométrico dos pontos do plano complexo que satisfazem a relação: $$\text{Re}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0\ \text{com} \ z \neq z_2$$

a) É dada a cônica $(k)$, cuja equação é $y^2 = 6x$. Seja $(c)$ uma circunferência com raio igual a $3\sqrt3$ e tangente a $(k)$ em dois pontos distintos $A$ e $B$. Determine o centro de (c) e as distâncias do vértice de (k) aos pontos $A$ e $B$

b) É dada a cônica $(k)$, cuja equação é $y^2 = 6x$. Considere uma família de circunferências tangentes a $(k)$, sabendo que cada circunferência desta família é tangente a $(k)$ em dois pontos reais e distintos. Determine o lugar geométrico dos centros das circunferências desta família.

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