IME 1975 Matemática - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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A soma dos $50$ primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a $200$ e a soma dos $50$ seguintes é igual a $2700$. Calcule a razão da progressão e seu primeiro termo.

Determine todas as soluções da equação trigonométrica: $$\sin {9x} + \sin {5x} + 2 \sin^2 {x} = 1$$

Considere a família de curvas $C$, definida pela equação: $$y = x^2 - 2(m - 5)x + m + 1$$

a) Sabendo que a curva intercepta o eixo $x^\prime\,x$ em dois pontos, determine os valores que $m$ pode assumir.

b) Determine a equação do lugar geométrico dos vértices das curvas da família $C$, apresentando um esboço deste lugar geométrico.

Sejam o segmento de reta $\overline{MQ}$ e os pontos $N$ e $P$ sobre $\overline{MQ}$, na ordem $M$, $N$, $P$ e $Q$. Considere um ponto $K$ não situado sobre a reta suporte de $\overline{MQ}$. Suponha que: $$\overline{MN} = 2\overline{NP} = 2\overline{PQ} = d$$ $$\hat{MKN} = \hat{NKP} = \hat{PKQ}$$

Determine o valor numérico da relação $\frac{h}{d}$, sendo $h$ a distância do ponto $K$ à reta suporte de $\overline{MQ}$.

Considere o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ e conjunto dos numéricos complexos $\mathbb{C}$. Sabendo-se que $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $z_1 \in \mathbb{C}$, $z_2 \in \mathbb{C}$ e que $z_1^2 + az_1^2 + b = 0$, e $x_2^2 + az_2^2 + b =0$, determine a relação $r = \frac{a^2}{b}$ para que os pontos $z_1$, $z_2$ e $z_0$ $(0,0)$ do plano complexo formem um triângulo equilátero, esboçando as soluções no plano complexo.

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