IME 1975 - Questões

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Considere o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ e conjunto dos numéricos complexos $\mathbb{C}$. Sabendo-se que $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $z_1 \in \mathbb{C}$, $z_2 \in \mathbb{C}$ e que $z_1^2 + az_1^2 + b = 0$, e $x_2^2 + az_2^2 + b =0$, determine a relação $r = \frac{a^2}{b}$ para que os pontos $z_1$, $z_2$ e $z_0$ $(0,0)$ do plano complexo formem um triângulo equilátero, esboçando as soluções no plano complexo.

Dada a equação: $$ \sum_{n = 2}^{\infty}{a^{(1 - n){y^3}}} = b$$ Onde $a$ é um número real maior que $1$, calcule todos os valores reais ou complexos de $y$ que satisfazem a essa equação, sabendo-se que $a^4$ é média geométrica entre $(1+b)$ e $(\frac{1}{b})$.

São dados os conjuntos $E = \{a, b ,c ,d\}$ e $F \subset E$, tal que $F = \{a, b\}$. Denote por $P(E)$ o conjunto das partes de $E$ e considere, em $P(E)$, a relação $R$, tal que: $$X\,\,R\,\,Y \leftrightarrow F \cap X = F \cap Y$$

a) Verifique se $R$ é uma relação de equivalência.

b) $Z \subset P(E)$

Determine $Z$, sabendo-se que $Z \cap F = \{b\}$.

c) $W \subset P(E)$

Determine $W$, sabendo-se que $F \cap W = \varnothing$.

$P(E)$ tem $16$ elementos.

Considere a família de curvas $C$, definida pela equação: $$y = x^2 - 2(m - 5)x + m + 1$$

a) Sabendo que a curva intercepta o eixo $x^\prime\,x$ em dois pontos, determine os valores que $m$ pode assumir.

b) Determine a equação do lugar geométrico dos vértices das curvas da família $C$, apresentando um esboço deste lugar geométrico.

Considere as progressões geométrica e aritmética abaixo, as quais se prolongam indefinidamente nos dois sentidos: $$\cdots : a^{-\frac{2m}{4}} : a^{-\frac{m}{4}} : a^0 : a^{\frac{m}{4}} : a^{\frac{2m}{4}} : \cdots$$$$\cdots . (1-\frac{5m}{4}) . (1-\frac{3m}{4}) . (1-\frac{m}{4}) . (1+\frac{m}{4}) . (1+\frac{3m}{4}) . \cdots$$

Verifique se elas podem definir o núcleo de um sistema de logaritmos. Em caso negativo, justifique a reposta. Em caso afirmativo, determine a base do sistema.

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