IME 1974 - Questões
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Seja $p(x)$ um polinômio a coeficientes reais de grau maior ou igual a $1$ e $q(x) =2x^2 + x$. Determine todos os possíveis máximos divisores comuns de $p(x)$ e $q(x)$.
Dado um ponto fixo, $A$, sobre uma circunferência $C$, de raio $r$, determine o lugar geométrico das interseções das circunferências que têm por diâmetros duas cordas da circunferência $C$, perpendiculares entre si e que passam pelo ponto $A$.
Para cada inteiro $k \geq 0$ seja $f_k : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que:$$f_0(x) = x + \ln{(\sqrt{x^2 + 1} -x)}, \forall x \in \mathbb{R}$$ e se $k> 0$, $$f_k(x)=\frac{x+\ln{(\sqrt{x^2+1}-x)}}{x^k}, \forall x\in \mathbb{R}_{0} = \mathbb{R} - \{0\}$$
e $f_k(0) = a$.
a) Desenvolva $f_0(x)$ em série de potências de $x$ até o termo de quarta ordem.
b) Determine os valores de $k$ para os quais $\lim_{x\to\ 0} f_k(x)$ existe e é finito e calcule os valores de $a$ de modo que $f_k$ seja contínua.
Em uma pesquisa realizada entre $500$ pessoas foram obtidos os seguintes dados:
$200$ pessoas gostam de música clássica;
$400$ pessoas gostam de música popular;
$75$ pessoas gostam de música clássica e de música popular.
Verifique a consistência ou inconsistência dos dados desta pesquisa.
Seja a equação geral do $2º$ grau em duas variáveis:
$$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$$
Prove que o determinante: $$ \begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}$$
é invariante por mudança de eixos coordenados.
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